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Asphéricité

L’asphéricité est une variable géométrique qui permet de décrire certaines variations de la courbure d’une courbe ou d’une surface. Elle confère des propriétés optiques particulières aux surfaces qui possèdent cette propriété d’asphéricité: un taux réduit (ou accentué) d’aberration de sphéricité (aberration sphérique).

La plupart des fabricants proposent aujourd’hui des implants asphériques pour le remplacement du cristallin après chirurgie de la cataracte. Les profils d’ablation laser utilisés pour la correction de la myopie en LASIK ou PKR sont établis à partir de modèles qui tiennent compte de l’asphéricité de la cornée.

En chirurgie de la presbytie, certains profils laser (presby LASIK)  reposent sur une modification intentionnelle de l’asphéricité de la cornée, pour induire un taux élevé d’aberration sphérique négative. Cette aberration traduit un gradient de puissance focale entre la zone centrale (région près de l’axe optique) et les bords de la pupille: la multifocalité engendrée permet de compenser la presbytie car elle augmente la profondeur de champ. Dans ce contexte, la modulation de l’asphéricité du profil cornéen sert à faire varier rapidement la puissance cornéenne pour permettre une accentuation de la profondeur de champ de l’oeil.

Définition de l’asphéricité

Une surface optique est dite asphérique quand elle n’épouse pas la forme d’une sphère (le profil des méridiens d’une telle surface diffère de celui d’un cercle): sa courbure n’est pas constante en tout point, contrairement à celle d’une sphère. La courbure d’une surface ou d’une courbe est une notion géométrique différentielle. La courbe suivante représente une section (profil) de la surface considérée: en un point particulier, le rayon de courbure peut être défini comme celui du cercle tangent à la surface au point considéré (ce cercle est appelé cercle osculateur).

Courbure asphéricité

L ’asphéricité cornéenne correspond à la variation de la courbure instantanée en chaque point P le long d ’un méridien cornéen (représenté en bleu). La courbure en un point est égale à celle du cercle qui épouse au mieux la courbe localement en ce point. L ’extrémité de chaque rayon de courbure est situé sur une droite perpendiculaire à la tangente t à la surface a point étudié. Si la surface cornéenne était sphérique, les centres C de chacun des rayons de courbure seraient confondus pour tous les points explorés. Quand la surface étudiée est prolate (cas représenté), sa courbure décroît du centre vers la périphérie. Les variations de courbure le long d’un méridien sont explorées par le mode tangentiel en topographie spéculaire

 

Asphéricité de la cornée

La cornée humaine possède deux surfaces convexes (antérieures et postérieures) naturellement asphériques, c’est-à-dire qu’en dehors de la région située immédiatement à proximité de son sommet (dans les 3 mm centraux) elles ne correspondent simplement pas à une surface sphérique (1). La courbure de la cornée diminue légèrement du sommet vers ses bords (on parle dans ce cas

Si la cornée était parfaitement sphérique, la représentation de la topographie de courbure cornéenne de nos patients serait uniformément monochrome!

La cornée est souvent également légèrement torique. Dans ce cas, la région située à proximité de son sommet n’épouse plus la forme d’une sphère mais celle d’un tore. La courbure du sommet cornéen (courbure apicale) varie selon le profil considéré entre deux valeurs extrêmes. Dans cette configuration, chaque méridien de la cornée considéré de façon isolée demeure asphérique, sa courbure variant du centre vers les bords.

Ces principes ne concernent pas que la cornée et peuvent s’appliquer à la description d’une surface de verre de lunette ou d’une lentille de contact.

Les surfaces purement sphériques ou asphériques (non toriques) présentent une symétrie de révolution (on peut les faire pivoter autour de leur axe central sans en changer les propriétés géométriques et optiques). C’est le cas des faces des optiques des implants phakes ou pseudophakes non toriques. Les surfaces toriques ne présentent évidemment pas de symétrie de révolution.

L’asphéricité d’un dioptre optique ne suffit pas pour prédire l’ensemble de son comportement optique, qui dépend également de son indice de réfraction et de la distance à laquelle se situe l’objet imagé.

Caractérisation d’une surface asphérique

La simplicité relative de ces définitions dissimule cependant la complexité sous-jacente à la notion véritable de courbure. Une surface sphérique présente une courbure locale identique en tout point et ce quelque soit la direction de sa mesure. Une autre façon commode de se représenter cette propriété est de considérer que deux morceaux de sphère de même dimensions mais pris à l’emporte pièce au hasard peuvent être échangés sans entraîner de déformation de la surface sphérique. Ceci n’est pas le cas pour une surface asphérique.

Une simple expérience permet d’illustrer la complexité des surfaces asphériques : considérons une surface asphérique non torique. Une des extrémités d’une baguette de pain pétrie avec soin et de façon bien régulière fournit un bon exemple de surface asphérique non torique. Si l’on découpe verticalement une tranche incluant le sommet de cette baguette (communément appelée le « croûton ») on observera sans peine que celle-ci présente une symétrie de révolution autour d’un axe passant par son sommet et parallèle à l’axe principal de la baguette). Si l’on découpe maintenant une tranche de façon oblique (en utilisant l’autre pointe de la baguette), on obtient cette fois-ci une section de surface que l’on ne peux pas remettre en place sans entraîner de déformation si on l’a fait tourner d’un certain angle. En étudiant plus finement les caractéristiques de cette surface, on observe qu’elle est non seulement torique (puisqu’il n’y a plus de symétrie de révolution) mais aussi asymétrique (la courbure n’est pas la même en deux points situés de part et d’autre du morceau découpé) !

Cette simple expérience préfigure les conséquences optiques engendrées par le décentrement ou le tilt de certains dispositifs asphériques. Le décentrement significatif d’une lentille asphérique implique la réfraction des rayons incidents au travers d’une surface optique aux propriétés voisines de la section oblique considérée précédemment : source d’astigmatisme induit régulier (lié à la toricité induite et corrigible par verre de lunette) et irrégulier (aberrations optiques de haut degré non corrigible par verre de lunette).

Quantification de l’asphéricité

La description qualitative de la cornée permet d’en décrire sommairement la forme mais n’offre pas la possibilité d’en étudier précisément les propriétés optiques. La formulation mathématique permet à la fois la représentation schématique (modélisation) et l’outil permettant d’en explorer les caractéristiques physico-optiques. Les techniques modernes de chirurgie réfractive cornéenne, d’imagerie, de contactologie ont été conçues grâce à l’utilisation de modèles théoriques physico-mathématiques, élaborés d’après le recueil de données issues de l’étude in vivo et in vitro des propriétés géométriques et optiques de l’œil et/ou de la cornée. L’état des connaissances avance ainsi au fil du temps par des ajustements successifs entre modèles et instruments de mesure.

Pour représenter la réalité asphérique du profil d’une lentille ou d’une cornée, il semble naturel de s’orienter vers le choix d’une courbe non circulaire simple comme une ellipse, ou une parabole. Ces dernières, ainsi que l’hyperbole et le cercle, ont en fait un point commun:elles appartiennent à une famille de figures appelées sections coniques.

Sections coniques

Les sections coniques sont une famille de courbes mathématiques qui peuvent être engendrées (comme leur nom l’indique) par la section de la nappe d’un simple cône par un plan (2,3).

Section conique

Origine des sections coniques, qui sont issues de l’intersection de la nappe d’un cône et d’ un plan d’inclinaison variable. L’ellipse, le cercle, la parabole et l’hyperbole sont donc les éléments constitutifs de cette famille de courbes mathématiques et s’y distinguent par la valeur et/ou le signe de leur asphéricité. c: cercle e : ellipse h : hyperbole

 

Fait remarquable, la découverte et la caractérisation de ces courbes asphériques par un savant grec (Appolonius de Perga) ont eu lieu plusieurs décennies avant notre ère. Cette découverte fut suscitée par une pure curiosité intellectuelle et survint en dehors de toute contexte applicatif évident (ce n’est que bien plus tard que l’on découvrira que ces courbes permettent de décrire le mouvement des planètes et de certaines astres, la forme de certaines franges d’interférence lumineuse, certains état de polarisation de la lumière, etc.)

On peut facilement observer des sections coniques dans la vie quotidienne : il suffit d’observer les figures lumineuses projetées sur les murs par les lampes d’appoints ou appliques. Comme les murs sont généralement bien droits, les courbes formées sont de nature hyperbolique.

formation d'une hyperbole par la section d'un cône lumineux (mur)

Illustration d’un phénomène courant à l’origine de la formation d’hyperboles sur un mur. L’abat jour restreint la diffusion de la lumière de l’ampoule à deux cônes lumineux superposés. Le mur forme le plan de section de ces cônes lumineux: y apparait alors une section conique (hyperbole).

La famille des sections coniques constitue le modèle le plus fréquemment utilisé pour décrire le profil de la face antérieure de la cornée, car moins éloigné de la réalité que le modèle sphérique, particulièrement au niveau des 8 mm centraux. Il a été aussi utilisé pour décrire l’asphéricité des faces antérieures et postérieures du cristallin, et est plus généralement employé pour établir les profils des surfaces utilisées pour les modèles d’yeux théoriques ou les implants asphériques.

Équation des courbes asphériques

Les sections coniques (ellipse, cercle, parabole, et hyperbole) possèdent toutes sauf le cercle une courbure variable. Deux paramètres suffisent à leur description: le rayon de courbure apical et le facteur d’asphéricité. Toutes les sections coniques possèdent ainsi une équation mathématique commune où figurent ces deux paramètres (équation de Baker): Y = (2 x Ro X – (1+Q) X^2)^0.5

Ro correspond au rayon de courbure mesuré à l’apex de la conique : c’est le rayon de courbure du cercle tangent au sommet de la section conique, également appelé cercle osculateur.

Q est le facteur d’asphéricité: il caractérise la variation du rayon de courbure à mesure que l’on s’éloigne de ce sommet.

Valeur du facteur Q d’asphéricité

La valeur de la variable Q détermine le type de la section conique :

Q<-1 : la courbe est une hyperbole

Q= -1 : la courbe est une parabole

-1<Q<0 : la courbe est une ellipse prolate

Q=0 : la courbe est un cercle

Q>0 : la courbe est une ellipse oblate

D’autres descripteurs de l’asphéricité , dénommés p, e, sont retrouvés dans la littérature. Ils peuvent tous être calculés à partir de l’un d’entre eux car Q=p-1 et p=1-e2 (2). La valeur de l’excentricité (e) n’est pas des plus commodes  pour quantifier l’asphéricité d’une courbe oblate (e2<1), à moins de considérer cette excentricité comme un nombre alors « imaginaire ».

Traduction clinique du facteur Q d’asphéricité

Ro détermine la courbure de la surface au voisinage immédiat de l’axe optique. Dans le cas de la cornée, il permet de déterminer la puissance kératométrique centrale, et dans le cas d’un implant la puissance focale.

Q gouverne les propriétés optiques de la surface considérée à distance de l’axe optique (conditions non paraxiales). En effet, le signe de Q détermine la façon dont le rayon de courbure varie de l’axe optique vers les bords (positif : le rayon de courbure diminue par rapport à Ro, négatif : le rayon de courbure augmente par rapport à Ro).

Q<0 : courbe prolate

La courbure décroit du centre (sommet) vers les bords (périphérie). C’est une caractéristiques physiologique pour la cornée humaine. Le caractère prolate de la courbure cornéenne s’accentue en cas de kératocône, ou après chirurgie de l’hypermétropie.

Q>0 : courbe oblate

La courbure croit du centre (sommet) vers le bords (périphérie). Après chirurgie réfractive conventionnelle pour la correction de la myopie, le profil cornéen est généralement oblate.

 

Q=0: asphéricité nulle

Quand Q est nul, le profil de la surface considérée est sphérique ; son rayon de courbure est constant en tout point de celle-ci.

 

Les sections coniques constituent ainsi un modèle à la fois simple, et « intelligible » sur le plan clinique. Si l’on représente les modifications du profil d’une optique induites par différentes valeurs de Q pour un même Ro (pour un rayon apical constant), on remarque que les modifications induites par la variation d’asphéricité sont de la dimension du micron, mais sont d’autant plus marquées que l’on s’éloigne du sommet de la section conique  (2).

profils cornée échelle

Représentation à l ’échelle de profils d’une surface optique possédant la même courbure apicale (puissance paraxiale), mais différentes asphéricités, du cercle (Q=0) à la parabole (Q=-1). Ces profils sont pratiquement confondus dans la région paraxiale, où la réfraction d ’un rayon lumineux serait peu différente quelque soit l ’asphéricité. En revanche, au delà de la région paraxiale, la différence d ’asphéricité entre les profils s ’exprime en terme de variations de géométrie (reflet des différents étalements de courbure) et donc de pouvoir réfractif.

 

 

Sur le plan optique,’asphéricité des différents dioptres oculaires (cornée, cristallin) contrôle grandement le taux des aberrations de sphéricité. L’asphéricité joue un rôle d’autant plus important que la pupille d’entrée du système considéré sera large. En d’autres termes, le retentissement de l’asphéricité sur la qualité optique sera d’autant plus marqué que le diamètre de la pupille d’entrée est important (laissant passer plus de rayons réfractés par une portion périphérique où la courbure donc la vergence est modifiée en fonction de l’asphéricité). Une augmentation du caractère prolate de l’asphéricité réduit le taux d’aberration sphérique positive, puis augmente le taux d’aberration sphérique négative.

L’élévation du taux d’aberration sphérique négative est le mécanisme qui permet aux lentilles de contact multifocales à addition centrale,  et aux profils laser de type presby LASIK (supracor, laser blended vision, optimized prolate ablation, etc.) d’induire une multifocalité pour compenser la presbytie. Ce concept étant plus compliqué à expliquer que la modification de l’asphéricité du profil cornéen (il est pupille dépendant), ces techniques de correction de la presbytie sont  positionnées comme faisant varier l’asphéricité cornéenne plutôt que modulant le taux d’aberration sphérique.

En savoir plus sur les paramètres permettant de décrire l’asphéricité cornéenne : JFO asphericite article 2002 (JFO)

Variations physiologiques de l’asphéricité

Asphéricité de la cornée

En termes mathématique, le profil d’une surface asphérique comme celui d’une section cornéenne antérieure s’apparente à celui du sommet pointu (prolate) d’une ellipse. La valeur moyenne du facteur d’asphéricité Q pour la face antérieure de la cornée est proche de -0.2.

Ellipse sommet oblate et prolate

Sommets prolate et oblate d ’une ellipse. Le profil cornéen s ’apparente en général au sommet prolate d ’une ellipse, de même que celui d’une surface d’ optique asphérique. Q est calculé à partir des diamètres principaux de l’ellipse (la formule mentionnée sur le schéma fournit la valeur de Q pour le sommet oblate : comme b est plus court que a, la valeur de Q est positive).

 

 

La courbure de la cornée diminue légèrement du sommet (apex) vers sa périphérie. A l’apex qui correspond en général à la partie la plus cambrée de la surface cornéenne, le rayon de courbure moyen est de 7,8 mm (environ 43 D). La courbure décroît ensuite (le rayon de courbure augmente) vers la périphérie en cas de cornée prolate. Cette variation, qui a des conséquences optiques importantes, est peu significative sur le plan macroscopique et est indétectable à l’examen biomicroscopique

Il existe cependant une grande variabilité interindividuelle et environ 20% des sujets normaux présentent une cornée dite oblate (Q>0 : augmentation de la courbure du centre vers la périphérie) selon certaines études (3). Ce profil oblate est par contre retrouvé chez près de 100% des cornées après kératotomie radiaire (KR), Photokératectomie Réfractive (PKR) et LASIK pour myopie (4).

Asphéricité du cristallin naturel

L’asphéricité des surfaces réfractives cristalliniennes est plus difficile à apprécier en raison des variations de géométries liées à l’accommodation et l’âge, et à l’imprécision relative des instruments de mesure du segment antérieur (l’appréciation de l’asphéricité requiert une précision de l’ordre du micron). Différentes valeurs de Q comprises entre -6 et +1 ont proposées pour les faces antérieures et postérieures du cristallin naturel. L’insertion d’un implant aux surfaces sphériques ne permet donc pas la restitution de la qualité optique d’un cristallin naturel jeune non accommodant. L’augmentation du volume du cristallin avec l’âge et certaines modifications structurelles (variation du gradient d’indice réfractive et sphérisation des surfaces) permettent d’expliquer l’augmentation de l’aberration sphérique au fil du temps.

Relations entre asphéricité cornéenne , kératométrie, amétropie

Il n’existe pas de lien statistique entre la valeur de l’asphéricité cornéenne et celle de la kératométrie centrale dans la population générale.

Il ne semble pas exister non plus de relation entre asphéricité et amétropie, en dehors de la myopie forte où une étude a retrouvé un taux de cornées oblates supérieur à la moyenne (5). Nous n’avons pas retrouvé de différence d’asphéricité cornéenne entre sujets myopes et emmétropes (6).

 

Rôle optique de l’asphéricité

Il est important de faire une claire distinction entre courbure et pouvoir optique. Le pouvoir optique dépend non seulement de la courbure, mais aussi de la variation d’indice de réfraction et de l’angle d’incidence des rayons réfractés par la surface considérée.

Une lentille sphérique d’indice donné (ex : n= 1.49) a une courbure constante, mais un pouvoir optique plus grand à sa périphérie (augmentation de l’angle d’incidence des rayons non proche de l’axe) qu’au centre. Les rayons périphériques sont alors focalisés en avant de ceux réfractés au centre (aberration sphérique positive). Cette variation de puissance optique se traduirait au niveau d’un front d’onde émis plan par un déphasage entre son centre et ses bords.

Une lentille asphérique possède une courbure non constante mais peut avoir un pouvoir optique constant, si la réduction de pouvoir optique liée à l’aplatissement périphérique compense exactement l’effet de l’augmentation de l’angle d’incidence des rayons périphériques (voire plus loin le cas de l’Ovale de Descartes). Ce principe optique est similaire à celui des implants asphériques dits « aberration free » où la puissance optique est constante sur la totalité de la surface optique.

L’aplatissement cornéen périphérique (profil prolate) permet de réduire les aberrations de sphéricité ou aberrations sphériques que l’on observerait si la cornée était réellement sphérique, mais il n’est pas assez marqué pour annuler totalement les aberrations de sphéricité oculaires. On considère classiquement que le cristallin atténue une partie des aberrations sphériques positives restantes, grâce à sa géométrie asphérique et son gradient d’indice réfractif (l’indice de réfraction du cristallin est plus élevé au centre de celui-ci que vers son équateur) (7,8).

Il est ainsi vain de tenter de définir une asphéricité « optimale » pour la cornée, que ce soit pour améliorer la vision nocturne, ou au contraire augmenter la multifocalité (correction de la presbytie). La courbure cornéenne centrale, le diamètre de la pupille irienne, la profondeur de la chambre antérieure de l’oeil sont autant de facteurs qui modifient les conséquences optiques d’une même asphéricité.

L’induction d’une asphéricité hyper prolate est utilisée en chirurgie cornéenne pour la compensation de la presbytie: elle permet, en cas de myopisation de l’oeil (au centre de la zone optique), de réduire rapidement la vergence oculaire vers la région plus périphérique de la zone optique pour permettre d’obtenir une acuité visuelle de loin suffisante.

Références

1) Gatinel D. Principes et intérêt de la modélisation cornéenne en chirurgie refractive. In : “Chirurgie refractive”. Saragoussi JJ, Arné JL, Colin J, Montard M, pp 84-95, Société Française d’Ophtalmologie et Masson, 2001.

2) Gatinel D, Haouat M, Hoang-Xuan T. A review of mathematical descriptors of corneal asphericity. J Fr Ophtalmol, 2002;25(1):81-90

3) Eghbali F., Yeung KK., Maloney RK. Topographic determination of corneal asphericity and its lack of effect on the refractive outcome of radial keratotomy. Am J Ophthalmol 1995; 119 : 275-280

4) Hersh PS, Fry K, Blaker JW Spherical aberration after laser in situ keratomileusis and photorefractive keratectomy. Clinical results and theoretical models of etiology. J Cataract Refract Surg. 2003;29(11):2096-104.

5) Carney LG, Mainstone JC, Henderson BA. Corneal topography and myopia. A cross-sectionnal study. Invest Ophthalmol Vis Sci,1997 ;38 :311-320

6) Haouat M, Gatinel D, Duong MH, Faraj H, Prisant O, Reyal F, Hoang-Xuan T. Corneal asphericity in myopes. J Fr Ophtalmol 2002, 25;488-492

7) Barbero S, Marcos S, Merayo-Lloves J. Corneal and total optical aberrations in a unilateral aphakic patient. J Cataract Refract Surg,2002;28:1594-1600

8) Gatinel D. Aberrations monochromatiques de haut degré : définitions et conséquences sur la fonction visuelle. In Gatinel D, Hoang-Xuan T : « Le LASIK : de la théorie à la pratique », Elsevier, 2003 ;pp151-159

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