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Géométrie de la cornée

Description géométrique et mathématique de la cornée

Les propriétés topographiques et optiques de la cornée sont intimement liées, et dépendent de la géométrie cornéenne. La cornée est le plus puissant des dioptres de l’œil. Elle doit cette propriété à l’importante différence d’indice entre l’air et le film lacrymal au niveau de sa face antérieure. Cette page est une présentation générale et simplifiée des figures géométriques et fonctions analytiques qui permettent de modéliser le profil et le relief de la cornée. Les propriétés de ces outils mathématiques sont largement utilisées en topographie cornéenne pour définir certaines constantes et indices.

Généralités

La cornée est une coupole sphérique et sa surface antérieure est la première interface que rencontre la lumière captée par l’oeil. Cette surface est recouverte du film lacrymal, et elle agit en première approximation comme un dioptre sphérique. L’importante variation d’indice de réfraction entre l’air et le film lacrymal explique que la cornée soit le plus puissant des dioptres oculaires, mais qu’elle agisse aussi comme un miroir convexe, qui réfléchit une partie de la lumière incidente (à l’origine de l’existence d’un reflet cornéen. L’étude morpho-fonctionnelle de la cornée requiert idéalement une précision de l’ordre du micron car des variations cet ordre peuvent induire des modifications significatives de ses propriétés optiques : la chirurgie réfractive photoablative cornéenne – LASIK, PKR – repose sur cette propriété (1).

La formulation mathématique offre simultanément une représentation schématique (modélisation) et un outil permettant d’explorer les caractéristiques physico-optiques de la cornée (2-4).

Les descriptions rapportées se réfèrent à la cornée moyenne de l’adulte. L’étude des formes est une science en soi qui se rattache à la géométrie. La description du relief cornéen qui en constitue une branche requiert l’usage d’un vocabulaire précis, dont les termes sont empruntés à l’étude géométrique des surfaces courbes. Afin d’éviter les erreurs d’interprétation et d’aider à la visualisation de notions parfois complexes pour le non géomètre, il est particulièrement important de bien connaître le sens des termes utilisés. Les surfaces utilisées pur la modélisation ont une formulation analytique plus ou moins complexe, qui sera réduite ou simplifié.

Les traits principaux de la géométrie cornéenne, et leurs variations consécutives à des  procédures comme la kératoplastie transfixiante ou le LASIK et la photoablation à visée réfractive seront étudiés.

Nous commencerons par rappeler les définitions des termes les plus fréquemment employés, avant d’aborder l’étude des principales caractéristiques géométriques de la cornée dont sa courbure. Ces connaissances permettent d’accéder à la compréhension et l’interprétation des différentes cartes topographiques (5).

 

 

Définition des termes employés pour la description mathématique des surfaces cornéennes et leur courbure

La description précise des variations de la courbure cornéenne fait appel à divers outils géométriques de complexité variable.

 Description générale

La courbure est objet mathématique défini dans un espace particulier. Dans le cadre de notre étude, la cornée est assimilée à un organe dont le volume est délimité par deux surfaces courbées dans un espace tridimensionnel.  Dans le cadre de l’étude des propriétés géométriques des surfaces cornéennes, la courbure peut être définie comme la courbure de la sphère qui épouse « au mieux » la surface cornéenne en un point donné (6). Plus le rayon de cette sphère est faible, plus la courbure de la surface étudiée est importante au point considéré, et inversement. Le profil d’une surface cornéenne peut être étudié « en coupe », selon la direction de ses méridiens, qui découpent la cornées en autant d’intersection qui passent son sommet ou apex ; la courbure en un point de chaque méridien est égale à celui du cercle dit « osculateur » au point considéré.

représentation du cercle osculateur à l'apex du méridien

Le méridien est représenté en vert. Le cercle osculateur est celui qui en épouse le sommet (apex). Dans cette région apicale, les deux courbes sont pratiquement confondues (elle le sont réellement au sommet du méridien O). Ro est le rayon du cercle osculateur, dont la valeur peut être utilisée pour calculer la courbure, et en déduire, connaissant la variation d’indice de réfraction, la puissance optique apicale du méridien.

Chaque méridien cornéen peut être défini par son azimut (l’azimut du méridien vertical est par exemple égal à 90°, celui du méridien horizontal égal à 0°). Un méridien est constitué de deux hémiméridiens, dont la courbure est identique en l’absence d’asymétrie.

La courbure d’une surface varie selon l’endroit et la direction selon laquelle on la mesure, à deux exceptions près :

-si l’ensemble des points étudié est situé sur une surface purement sphérique

-si le point est situé au sommet d’une surface à symétrie de révolution (dont tous les méridiens ont le même profil)

En dehors de ces cas particuliers, la courbure réelle en un point d’une surface quelconque (non sphérique) n’est pas égale à l’une de celles que l’on mesurerait le long des différentes directions passant par ce point.

plans de coupe pour analyse de la courbure

Représentation de différents plans de coupe selon lesquels il est possible de mesurer la courbure d’une surface convexe (ex: surface antérieure de la cornée) en un point donné. Ces plans sont localement perpendiculaires à la surface au point de mesure.Le plan orange correspond à la direction dite méridionale, ou tangentielle ou instantanée. Le plan en violet plein correspond à la direction axiale, ou sagittale. Le rayon de courbure mesuré dans la direction axiale au point de courbure a son origine située sur l’axe de symétrie de la surface (ceci ne s’applique qu’aux surfaces de type ellipsoïde, indemnes de déformations asymétriques ou irrégulières)

Quand on étudie les variations de la courbure en fonction des directions passant par un point situé sur une surface localement non sphérique, on observe que la courbure varie toujours entre deux extrêmes, situés selon des directions perpendiculaires. Les ophtalmologistes emploient parfois le terme d »’astigmatisme local » pour désigner cette caractéristique, bien que le terme de « toricité locale » soit plus approprié. Cette toricité locale est responsable de l’ « astigmatisme des faisceaux obliques », aberration optique pouvant affecter la réfraction de faisceaux lumineux d’incidence oblique (7).

Ainsi, l’existence d’une toricité locale non nulle en tout point est une caractéristique propre aux surfaces non sphériques. La variation de la courbure en un même point d’une surface en fonction de la direction de mesure est à l’origine des différents modes de représentation topographique (ex : mode axial, mode méridional, etc…). La valeur de la courbure moyenne (« mean curvature ») en un point d’une surface donnée correspond à une moyenne calculée à partir des valeurs mesurées selon chacune des directions passant par ce point: on peut mesurer la moyenne de manière arithmétique, ou géométrique (courbure Gaussienne).

 

En ophtalmologie, l’emploi du terme toricité désigne souvent implicitement l’existence d’une variation méridionale de la courbure au niveau du sommet cornéen (variations de la courbure apicale selon le méridien considéré). Dans ce cas, la différence de courbure apicale mesurée entre le méridien le plus courbe et le méridien moins courbe est estimée cliniquement par la mesure de la kératométrie simulée : sim-K, après utilisation d’une formule paraxiale pour convertir la différence de courbure en puissance kératométrique. Cette mesure peut être utilisée pour estimer l’astigmatisme engendré par la cornée.

Si la toricité apicale correspond à une variation de courbure entre les méridiens au sommet de la cornée, l’asphéricité caractérise quant à elle la variation de la courbure le long d’un méridien (du centre vers la périphérie cornéenne) (8). En effet, la courbure des méridiens d’une surface asphérique n’épouse pas celle d’un cercle mais varie en chacun des points du méridien considéré.

asphéricité d'un méridien

Méridien asphérique : la courbure varie entre le centre et la périphérie (ici la courbure est représentée au sommet C et en un point périphérique P). La courbure au sommet du méridien est appelée courbure « apicale

 

Ces notions sont capitales pour l’étude du relief des surfaces cornéennes.

 

Descripteurs de la courbure cornéenne

 

La géométrie des surfaces cornéennes antérieures et postérieures est dictée par la combinaison de quatre  propriétés élémentaires : courbure apicale, asphéricité, toricité et asymétrie. Ces propriétés s’attachent à décrire les variations de la courbure cornéenne entre les méridiens ou le long de ceux-ci. L’utilisation de ces propriétés permet de bâtir une sémiologie simple et pertinente pour l’interprétation des cartes topographiques.

 

Schématiquement :

 

– la courbure apicale conditionne la valeur de la puissance kératométrique paraxiale.

– de l’asphéricité dépendent le taux et le signe de l’aberration sphérique d’origine cornéenne,

– de la toricité (entendue ici au sens « toricité apicale ») découle la magnitude de l’astigmatisme cornéen.

– l’asymétrie  gouverne le taux d’astigmatisme irrégulier (aberrations optiques de haut degré d’origine cornéene)… Détecter et quantifier le degré d’asymétrie de la surface cornéenne est essentiel au diagnostic précoce du kératocône.

 Courbure apicale

Le rayon de courbure apical moyen est défini comme celui de la sphère qui « épouse » au mieux la courbure du sommet de la cornée (sphère osculatrice). Les méridiens cornéens sont individualisés par des coupes sagittales passant par le centre de la cornée ; la courbure apicale d’un méridien cornéen peut être assimilée à celui de son cercle osculateur, qui est « tangent » au sommet du méridien. En cas de toricité importante, la courbure apicale varie selon les méridiens entre deux valeurs extrêmes.

Pour une cornée saine et vierge de chirurgie réfractive, la valeur de la courbure apicale moyenne antérieure est généralement proche de celle fournie par la kératométrie moyenne, bien que cette dernière soit estimée à partir de mesures pratiquées à légère distance de part et d’autre du sommet cornéen (1.5 mm environ). Ceci est dû au faible gradient de courbure existant au sein de la région proche de l’apex cornéen (région apicale ou paraxiale) dans des conditions physiologiques.

La courbure apicale postérieure est physiologiquement plus marquée que la courbure apicale antérieure (son rayon de courbure apical est plus faible). Si la courbure de sa face postérieure est supérieure à celle de la face antérieure, la différence d’indice avec l’humeur aqueuse est environ dix fois plus faible et de signe opposée. L’essentiel du pouvoir du dioptre cornéen dépend donc de sa face antérieure, et est légèrement atténué par sa face postérieure. Le calcul de la vergence cornéenne (puissance paraxiale de la cornée) montre que l’on peut assimiler la cornée à un dioptre sphérique.

 

Le Tableau  suivant renseigne sur les valeurs de courbures apicales rapportées par divers auteurs (9-16).

(Tableau n°1).

 

S/YFace antérieureFace postérieurePuissance totale (D)
R (mm)F (D)R (mm)F (D)
Lowe and Clark (1973)46/927,65±0,2649,26,46±0,26-6,243,2
Kiely et al. (1982)88/1767,72±0,2748,7
Edmund and Sjontorft (1985)40/807,76±0,2548,5
Guillon et coll (1986)110/2207,78±0,2548,3
Koretz et coll (1989)FemmesHommes68/-32/-7,69±0,237,78±0,2448,948,3
Dunne et coll (1992)FemmesHommes40/4040/407,93±0,208,08±0,1648,047,16,53±0,206,65±0,16-6,1-6,042,041,2
Patel et coll20/207,68±0,4049,05,81±0,41-6,942,2
Read et coll100/2007.77 ± 0.248.4
MOYENNE(non pondérée)7,8348,06,34-6,3

 

Tableau n°1 : Valeurs du rayon apical de courbure R et des puissances dioptriques F correspondantes) D: dioptries       –    S : nombre de sujets     –     Y : nombre d’yeux.

 

L’utilisation de la kératométrie apicale moyenne suffit dans des situations cliniques courantes comme le calcul biométrique de puissance d’implant ou le choix d’un anneau de microkératome.

En contactologie, la mesure kératométrique est naturellement exprimée en milimètres.  Dans d’autres situations cliniques, la kératométrie est souvent exprimée en Dioptrie, qui est pourtant une unité de puissance optique, et non de courbure. Cette « transgression » souligne à la fois l’intérêt porté à l’estimation de la puissance optique du dioptre cornéen, et le lien si étroit qui unit la forme et la fonction de la cornée.

Le kératocône, qui est caractérisé par une déformation progressive et continue de la cornée, se caractérise souvent dans ses formes avancées par une kératométrie centrale élevée (supérieure à 49 D)

La conversion de la kératométrie en Dioptrie nécessite l’utilisation d’une valeur d’indice de réfraction qui est généralement proche de 1.333. La relation entre kératométrie et courbure s’exprime alors par la relation suivante : K= (1.333-1)/R, ou K est la kératométrie (Dioptrie), et R le rayon de courbure apical (en mètre).

Cette valeur choisie d’indice ne correspond pas une valeur physique (proche de 1.376 pour le stroma). Cependant, cette légère réduction permet à la kératométrie exprimée en Dioptrie de tenir compte de l’effet réducteur « moyen » de la face postérieure de la cornée, ce qui possède un intérêt pour certaines applications comme le calcul biométrique, du moins pour les yeux exempts d’antécédent de chirurgie cornéenne ;

Réduire l’appréciation de la courbure cornéenne à une simple valeur kératométrique ne doit pas être effectué à distance du sommet de la cornée. Le contraire reflèterait la perception erronée que le profil antérieur de la cornée épouse simplement celui d’une sphère ; cette approximation n’est en réalité valable que la zone des 3 mm centraux et pour des cornées saines et faiblement toriques. De plus, elle s’avère imprécise au décours de pathologies ou d’actes chirurgicaux ayant provoqué un remaniement important du profil cornéen antérieur.

 

Asphéricité :

Une surface optique est définie comme asphérique quand sa courbure varie du sommet vers la périphérie. Il existe une différence entre la courbure apicale et la courbure périphérique. De fait, une surface asphérique n’épouse pas la forme d’une sphère. La cornée humaine fournit un exemple approprié de surface asphérique. Elle possède deux surfaces convexe naturellement  asphériques, c’est-à-dire qu’en dehors de la région située immédiatement  à proximité de son sommet (dans les 3 mm centraux) elles ne correspondent pas à une surface sphérique.  S’il en était ainsi, la représentation de la topographie cornéenne de nos patients pourvue d’une cornée de courbure en tout point constante serait uniformément monochrome!

Chacun des méridiens de la cornée asphérique présente une courbure qui varie du centre vers les bords. Cette variation de la courbure le long d’un méridien est explorée par la courbure instantanée (appelée encore courbure tangentielle, ou méridionale).

Les courbes mathématiques de la famille des sections coniques fournissent une bonne approximation du profil cornéen. Comme leur nom le suggère, elles sont engendrées par la section de la nappe d’un cône par un plan. En fonction de l’angle de coupe, on obtient un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole. Pour décrire analytiquement chacune de ces courbes, deux paramètres suffisent.

sections coniques

Les sections coniques appartiennent à une famille de courbe qui sont engendrées par la section de la nappe d’un cône par un plan.

Pour représenter la réalité asphérique du profil d’une lentille ou d’une cornée, le choix s’est naturellement  orienté vers une famille de figures simples appelées sections coniques car elles peuvent être engendrées comme leur nom l’indique par la section d’un simple cône par un plan de l’espace. L’ellipse, le cercle, la parabole et l’hyperbole sont les éléments constitutifs de cette famille de courbes et s’y distinguent par la valeur et/ou le signe de leur asphéricité. Fait remarquable, elles ont été découvertes par un savant grec Appolonius, et cette découverte n’était mue que par pure curiosité intellectuelle car en dehors de toute contexte applicatif (bien avant que l’on découvre que ces courbes permettent de décrire le mouvement des planètes et de certaines comètes, la forme de certaines franges d’interférence lumineuse, certains état de polarisation de la lumière, ect.)

 

La familles des sections coniques comprend : les ellipses (oblate et prolate), le cercle la parabole, et l’hyperbole. Elles possèdent toutes sauf le cercle une courbure variable. Deux paramètres suffisent à leur description: le rayon de courbure apical et le facteur d’asphéricité. Toutes les sections coniques possèdent ainsi une équation mathématique commune (équation de Baker) où figurent ces deux paramètres (17)

Y2= 2Ro X – (1-Q) X2

Ro correspond au rayon de courbure à l’apex de la conique : c’est le rayon de courbure du cercle tangent au sommet de la conique également cercle osculateur. La  variable d’asphéricité est communément désignée par la lettre « Q ». Ce paramètre découle des propriétés géométriques des courbes asphériques comme l’ellipse.Son signe détermine la façon dont la dont la courbure apicale varie vers la périphérie : négatif, il traduit la réduction de la courbure du centre vers la périphérie (augmentation du rayon de courbure local) : on parle alors d’asphéricité de type prolate. Quand Q a une valeur positive, la courbure augmente du centre vers la périphérie : l’asphéricité est de type oblate. Dans les deux cas, la valeur absolue de Q est proportionnelle au différentiel de courbure entre centre et périphérie.

sommets de l'ellipse oblate et prolate

Sommets prolate et oblate d ’une ellipse, et définition géométrique des descripteurs d’asphéricité. Ro est le rayon du cercle osculateur au sommet de l’ellipse. Le profil cornéen s ’apparente en général au sommet prolate d ’une ellipse.

La valeur de Q détermine le type de la section conique

Q<-1 : la courbe est une hyperbole

Q= -1 : la courbe est une parabole

-1<Q<0 : la courbe est une ellipse prolate

Q=0 : la courbe est un cercle

Q>0 : la courbe est une ellipse oblate

D’autres descripteurs de l’asphéricité , dénommés p, e, sont retrouvés dans la littérature. Ils peuvent tous être calculés à partir de l’un d’entre eux car Q=p-1  et  p=1-e2

 

Pour les ajuster à un méridien cornéen, on peut choisir ces paramètres comme le rayon de courbure apical et un paramètre qui décrit le degré d’asphéricité. Le rayon de courbure apical s’ajuste à la courbure au sommet, et le paramètre d’asphéricité est celui qui permet d’épouser la variation périphérique de la courbure cornéenne. Il s’agit donc d’un modèle à la fois simple, et « intelligible » sur le plan clinique (18-22), qui peut être utilisé pour décrire globalement la courbe asphérique formée par un méridien  antérieur ou postérieur de la cornée.

 

La valeur moyenne du facteur d’asphéricité Q de la cornée antérieure est proche de -0.2 (15-16, 20-26). Le profil moyen d’une section cornéenne peut être approximé par celui d’une ellipse prolate (facteur Q est compris entre 0 et -1) et par assimilation, la cornée est alors qualifiée de prolate.  Le rayon de courbure local augmente à mesure que l’on s’éloigne de l’apex cornéen (aplatissement périphérique). La figure suivante représente à l’échelle différents profils prolates, qui partagent la même courbure apicale et ne diffèrent que par la valeur de leur asphéricité.

effet de l'asphéricité sur le profil cornéen

Représentation à l ’échelle de profils d’une surface optique possédant la même courbure apicale (puissance paraxiale), mais différentes asphéricités, du cercle (Q=0) à la parabole (Q=-1). Ces profils sont pratiquement confondus dans la région paraxiale, où la réfraction d ’un rayon lumineux serait peu différente quelque soit l ’asphéricité.
En revanche, au delà de la région paraxiale, la différence d ’asphéricité entre les les profils s ’exprime en terme de variations de courbure (gradients de courbure différent) et donc de pouvoir réfractif local.

 

 

Le tableau suivant indique les différentes valeurs retrouvées dans la littérature pour le facteur d’asphéricité.

 

Tableau n°2 : Asphéricité de la face antérieure de la cornée.

 

S/YQEcart-types
Mandell et St Helen (1971)8/8-0,23-0,04 à 0,72
Kiely et coll (1982)88/176-0,260,18
Edmund et Sjontorft (1985)40/80-0 ,280,13
Guillon et coll. (1986)110/220-0,180,15
Patel et coll. (1993)20/20-0,010,25
Lam and Douthwaite (1997)60/60-0,300,13
Read et coll. (2006)100/200-0.190.1

 

 

Il existe cependant une grande variabilité interindividuelle pour les caractéristiques topographiques de la cornée, et l’asphéricité qui est souvent rapportée par les logiciels des topographes comme une valeur « moyenne », varie en fait selon les méridiens de la cornée. La valeur de l’asphéricité des méridiens principaux peut également être rapportée.

asphéricité et topographie cornéenne

Exemple de calcul de l’eccentricité et de l’asphéricité (Q) pour les méridiens principaux (steep / flat) de la face antérieure de la cornée par un logiciel topographique.

La recherche d’un lien éventuel entre asphéricité cornéenne antérieure et amétropie a fait l’objet de plusieurs publications dont les résultats sont contradictoires ; absence de corrélation pour certains (16,19), alors que Carney et coll. ont récemment mis en évidence une tendance au moindre aplatissement périphérique de la cornée chez les myopes (Q se rapprochant de 0) (21). Nous n’avons pas retrouvé de différence d’asphéricité cornéenne entre sujets myopes et emmétropes (21). Nous avons récemment mesuré l’asphéricité cornéenne après simple désépithélialisation chez des sujets opérés de photokératectomie réfractive et retrouvé une asphéricité en moyenne plus prolate au niveau la couche de Bowman (25).

Une conséquence plus fonctionnelle de l’asphéricité prolate est de permettre la réduction des aberrations de sphéricité-ou aberrations sphériques.

aberration sphérique et asphéricité : relations

Représentation schématique des variations de l’aberration sphérique pour des surfaces courbes d’asphéricité Q variable séparant deux milieux d’indices différents et homogènes (l’indice de réfraction du dioptre à la valeur la plus élevée). Pour une meilleure visualisation, le contour des surface est prolongé en pointillés. Les rayons paraxiaux sont représentés en rouge, les rayons marginaux en vert. Toutes les surfaces ont la même courbure paraxiale et donc la même puissance apicale (les rayons paraxiaux convergent de la même façon pour chacune des surfaces) et diffèrent par leur type d’asphéricité (valeur et signe de Q): oblate (a), sphérique (b); prolate (c), parabolique (d) et hyperbolique (e). L’aberration sphérique (AS) est positive et décroît en a, b,c, nulle en d, négative en e.
La valeur d’asphéricité qui permet d’annuler l’aberrations sphérique (en d) dépend de la valeur des indices de réfraction.

On rencontre malheureusement parfois une certaine confusion entre asphéricité et aberration sphérique. L’aberration sphérique cornéenne reflète la variation entre la puissance centrale (paraxiale : proche de l’axe optique) et la puissance périphérique (non paraxiale, à distance de l’axe optique) de la cornée. Une lentille sphérique (dont les deux faces ont un profil circulaire) présente un pouvoir de réfringence plus grand à sa périphérie qu’au centre, et les rayons réfractés en périphérie sont donc plus rapidement focalisés.  Le retentissement des aberrations de sphéricité partiellement compensées par l’asphéricité cornéenne sur la qualité de vision est donc d’autant plus important que le diamètre de la pupille d’entrée est important (laissant passer plus de rayons périphériques).

L’aplatissement cornéen périphérique (profil prolate, réduction du rayon de courbure en périphérie) explique en partie que le rayon de courbure choisi lors de l’adaptation d’une lentille de contact ne soit pas exactement égal à celui mesuré à proximité du centre de la cornée au moyen d’un kératomètre.  Dans certaines circonstances cliniques (après chirurgie réfractive, greffe, etc.) le caractère fortement asphérique des cornées impose des règles d’adaptations particulières. La kératotomie radiaire est généralement responsable d’une asphéricité positive (oblate) très marquée, les valeurs du facteur Q pouvant atteindre 3 ou 4.

Le kératocône induit une cambrure marquée de la région centrale de la cornée; celle-ci s’accompagne d’un aplatissement périphérique, ce qui accentue parfois de manière importante le caractère prolate du profil cornéen. Une accentuation de l’asphéricité négative (hyperprolaticité) peut être un signe évocateur de kératocône infra clinique.

 

 

L’asphéricité cornéenne postérieure est physiologiquement plus négative (plus prolate) que l’asphéricité cornéenne antérieure (14,27,28). La face postérieure est plus cambrée en son sommet (courbure apicale accentuée), et ces caractéristiques expliquent qu’en topographie d’élévation, l’élévation cornéenne postérieure vis à vis de sa sphère de référence soit en moyenne supérieure à celle de la surface antérieure de la cornée. Autrement dit, la surface cornéenne postérieure est simplement « plus éloignée » de celui de la sphère de référence, que le profil antérieur. Cette dissociation topographique s’accentue au cours de l’évolution du kératocône : dans ses formes évoluées, cette pathologie s’accompagne d’une exagération du caractère prolate de l’asphéricité cornéenne non seulement antérieure, mais également postérieure (28).

L’asphéricité cornéenne antérieure est retrouvée inversée dans une grande majorité de cas après chirurgie réfractive cornéenne démyopisante et greffe de cornée : de prolate (Q<0), elle devient oblate (Q>0) (26). A l’inverse, une asphéricité hyperprolate est généralement mesurée après chirurgie cornéenne de l’hypermétropie (LASIK).

 

topographie cornéenne: asphéricité oblate

Topographie spéculaire en mode axial postopératoire d’une cornée opérée de LASIK pour myopie. Noter l’augmentation de la courbure du centre vers les bords, qui est représentée en coupe en bas (méridien vertical). La valeur moyenne de l’asphéricité des méridiens cornéens dans les 6 mm centraux est 0.25.

L’étude de la face postérieure de la cornée est plus difficile car elle doit s’effectuer au travers de la face antérieure et du stroma cornéen. Les caractéristiques de la face postérieure de la cornée ont d’abord été estimées par des modèles mathématiques fondés sur la connaissance de la courbure de la face antérieure de la cornée et de la pachymétrie en certains points. Patel et coll. ont ainsi estimé le rayon de courbure postérieur apical moyen à 5,8 mm, et l’asphéricité cornéenne postérieure moyenne à –0,42 (prolate) ; l’asphéricité cornéenne antérieure utilisée pour ce calcul était quasi-sphérique (-0,01) (29). Le choix d’asphéricités antérieures différentes a conduit d’autres auteurs à proposer des valeurs plus prolates pour la face postérieure; il est évident que les procédures de ray-tracing effectuées pour le  calcul du rayon de courbure et de l’asphéricité cornéenne postérieure supposent un index cornéen unique, et que toute imprécision de mesure au niveau de la face antérieure de la cornée est reportée au niveau de la face postérieure. Le rapport moyen entre les rayons de courbure antérieure et postérieure a été estimé à 1,210 selon certaines études (9,14). L’assimilation de la cornée à une surface réfractive unique dans les modèles d’œil simplifiés suppose un rapport constant entre les courbures moyennes de la face antérieure et de la face postérieure de la cornée ; ceci explique la valeur généralement proche de 1.33 pour le choix d’un indice de réfraction « minoré » (ou kératométrique). Ce choix résulte en une réduction systématique d’environ 10% par rapport à la puissance cornéenne antérieure « vraie ».

Le rapport de courbure moyen est modifié après remodelage cornéen antérieur chirurgical (ex : LASIK), et l’utilisation de l’indice kératométrique aboutit à une réduction moindre de la puissance cornéenne antérieure vraie (celle-ci ayant diminué grâce au LASIK myopique, alors que la face postérieure demeure inchangée). Ceci explique en partie l’imprécision constatée pour les calculs biométriques de la puissance de l’implant pour la chirurgie de la cataracte chez les patients opérés de chirurgie réfractive cornéenne.

 

Toricité

En topographie cornéenne, la toricité cornéenne antérieure se réfère principalement à  l’existence d’une variation de la courbure entre les méridiens. Elle est dite régulière (hémiméridiens les plus cambrés et les plus plats respectivement alignés et perpendiculaires entre eux) ou irrégulière quand ces deux conditions ne sont pas satisfaites (kératocône, cicatrice, etc.).

La toricité de la région apicale de la cornée caractérise l’absence de symétrie de révolution, la courbure des méridiens principaux varie entre entre deux valeur : l’une minimale (méridien le moins cambré), l’autre maximale (méridien le plus cambré).

toricité d'une surface

Une surface sphérique présente une courbure identique en chaque point, quelque soit le méridien considéré.
Une surface torique présente une variation de courbure apicale (Apex : A) entre les différents méridiens. En chaque point de ce type de surface (pas seulement l’apex), il existe une infinité de courbures selon la direction considérée. Ces courbures varient entre deux extrêmes. Pour le sommet de cette surface (apex), ces deux extrêmes correspondent aux courbures respectives du méridien le plus plat et du méridien le plus cambré.

En cas de toricité régulière, ces méridiens sont perpendiculaires (ex : 0°/90°). Une différence de quelques centièmes de mm pour le rayon de courbure apical est pourvoyeuse d’astigmatisme réfractif, car la puissance réfractive apicale des méridiens analysés varie de concert avec leur courbure. Il existe une toricité régulière cornéenne physiologique ; le plus souvent, le rayon de courbure cornéen vertical est légèrement inférieur au rayon de courbure cornéen horizontal (toricité conforme).

 

En cas d’astigmatisme cornéen congénital marqué, les deux faces cornéennes (antérieures et postérieures) sont toriques (l’appréciation de la toricité postérieure s’effectuée par topographie à balayage par fente ou par caméra rotative de type Scheimpflug, toute mesure spéculaire étant impossible).

Quand la toricité cornéenne est excessive, ou d’axe non conforme, ou encore non compensée par les autres dioptres oculaires, elle engendre un astigmatisme réfractif, qui correspond à la résultante de l’astigmatisme d’origine cornéenne et l’astigmatisme issu des autres dioptres oculaires (cristallinien pour l’essentiel).

 

La toricité cornéenne est à l’origine de l’astigmatisme cornéen.

 

La courbure de la surface cornéenne varie donc :

-le long d’un hémiméridien (asphéricité cornéenne)

-entre les méridiens apicaux (toricité cornéenne).

 

La conjugaison de la toricité et de l’asphéricité cornéenne antérieure induit un aspect en  « sablier » ou « nœud papillon » au niveau de la topographie spéculaire antérieure (2-5). Ce sablier est de couleurs chaudes pour les cornées prolates, et froide pour les cornées oblates.

effet conjugués de la toricité et de l'asphéricité

Les propriétés combinées de toricité et d’asphéricité expliquent l’aspect en “sablier” de la topographie cornéenne de courbure axiale ou tangentielle.

L’utilisation d’une surface biconique permet  de modéliser une cornée torique et asphérique. Elle se construit à partir des valeurs des rayons de courbure apicaux et des asphéricités respectives des deux méridiens principaux pour la surface considérée.

représentation d'une surface biconique

Représentation en élévation par rapport à une sphère de référence d’une surface cornéenne modelée par une surface “biconique”. Cette surface est engendrée par une interpolation entre deux sections coniques (r1,Q1 – r2, Q2). L’échelle de couleur varie par pas de 5 microns.

L’ellipsoide torique est un modèle couramment utilisé pour modéliser une cornée asphérique et torique, et peut être vu comme une sphère ayant subi une élongation et/ ou une compression le long de deux de ses méridiens principaux. En chaque point des surfaces de ce type, les rayons de courbure principaux correspondent aux rayons tangentiel et sagittal pris en compte dans les algorithmes de topographie spéculaire. Le rayon de courbure tangentiel en un point de cette surface correspond au rayon de courbure mesuré dans la direction du méridien passant par ce point. Le rayon de courbure sagittal (ou axial) est perpendiculaire à celui-ci, et son centre situé sur l’axe de révolution de la surface. Le rayon tangentiel n’est égal au rayon axial qu’au sommet d’une ellispoïde de révolution (le sommet de l’ellipsoïde de révolution est le seul point où la courbure est constante quelque soit la direction de mesure). Tous les points situés à une distance identique du sommet ont un même rayon de courbure sagittal et un même rayon de courbure tangentiel.

 

Asymétrie

En plus d’être plus ou moins toriques (variation de courbure entre les méridiens à l’apex) et asphériques (variation de la courbure le long des méridiens), les surfaces cornéennes sont également légèrement asymétriques. Cette asymétrie cornéenne peut se caractériser par un axe particulier, et se distingue en cela de l’irrégularité, qui ne possède pas d’orientation propre. Cet axe délimite alors les hémi-méridiens opposés dont la différence de courbure est la plus importante.

L’asymétrie peut être objectivée de façon qualitative par une distribution asymétrique des couleurs utilisées pour représenter les variations de courbure ou d’élévation. A elle seule, la présence d’une asymétrie marquée doit faire évoquer la présence d’une pathologie dégénérative de type kératocône infraclinique ou dégénérescence pellucide marginale. Les patients qui ont l’habitude de se frotter régulièrement les yeux (atopie, travail prolongé sur écran, etc.) présentent souvent des déformations cornéennes plus ou moins mineures caractérisées par une asymétrie de courbure (le plus souvent hypercambrure inférieure). De nombreux indices effectués à partir d’informations de courbure peuvent être utilisés pour quantifier l’asymétrie. A partir des valeurs calculées pour ces indices, certains auteurs ont proposé une classification diagnostique des affections cornéennes comme le kératocône (30,31).

 

La modélisation de l’irrégularité cornéenne est généralement effectuée par une famille de surfaces aux propriétés particulières : les polynômes de Zernike. Ce sont des fonctions de deux variables (x et y en coordonnées cartésiennes, ρ et θ en coordonnées polaires) définies sur le disque de rayon unité (la pupille est normalisée). Le système de coordonnées utilisé par convention pour la caractérisation de ces polynômes est représenté sur la figure suivante.

coordonnées polynomes de Zernile

Le système de coordonnées polaires utilisé pour la représentation par les polynômes de Zernike est par convention identique pour les deux yeux. Il est centré sur le centre de la pupille. L’axe des abscisses horizontal est dirigé vers la droite, l’axe des ordonnées vertical est orienté vers le haut. L’axe d’élévation Z est dirigé vers l’extérieur de l’œil. La coordonnée d’azimut et la coordonnée radiale sont représentées.
Dans ce repère cartésien on peut convertir les coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes:
x = r sinθ, et y = r cosθ, r =( x2+y2)1/2

La combinaison linéaire de ces fonctions permet de modéliser un front d’onde ou la surface cornéenne (32) : chaque fonction est multipliée par un coefficient (dit coefficient de Zernike) puis les résultats additionnés. Cette démarche est analogue à la décomposition en série de Fourier d’une fonction.

Chaque polynôme de Zernike noté Znm correspond au produit entre un polynôme de degré n et une fonction trigonométrique de fréquence azimutale  m.  (plus de détails sur l’utilisation de ces polynômes dans le cadre de l’étude du front d’onde)

 

expression analytique des polynômes de Zernike

Expression analytique des polynômes de Zernike

 

 

L’équation générale d’un polynôme de Zernike est donc le produit entre un facteur de normalisation, un polynôme de degré n, et une fonction trigonométrique de fréquence m.

 

La structure tridimensionnelle d’un polynôme dépend des valeurs de n et m

n est un entier toujours positif

Pour chaque valeur de n, il existe des valeurs possibles pour m variant entre –n et +n par pas de 2. Par exemple, si n=4, m prend les valeurs suivantes : -4,-2, 0, 2 et 4. Ainsi, pour un ordre radial n donné, il existe (n+1) polynômes de cet ordre qui diffèrent par la valeur de leur  fréquence m.

Le facteur de normalisation permet à la variance du polynôme d’être égale à 1 (la somme des carrés des écarts à la moyenne de l’élévation de chacun des points du polynôme est égal à 1).

 

 Propriétés de la décomposition d’une surface en polynômes de Zernike :

 

Une surface de pourtour sphérique peut donc être décomposée en une combinaison linéaire de polynômes de Zernike Znm affectés d’un coefficient particulier cnm:

Ces fonctions polynomiales sont orthogonales, ce qui signifie en pratique qu’il n’existe qu’une seule décomposition possible pour une surface cornéenne donnée (de plus, l’ajout ou la soustraction d’un terme donné à la surface ne modifie pas la valeur des termes restants).

L’élévation des points situés à une distance radiaire ρ du centre de la cornée est représentée par une combinaison linéaire de fonctions trigonométriques de fréquences variables. Chacune de ces fonctions est affectée d’une constante égale au produit entre le coefficient du polynôme de Zernike Cnm et la valeur (fonction de ρ) du polynôme Rnm(ρ). La décomposition du front d’onde ou de la surface cornéenne en polynômes de Zernike s’apparente ainsi aux principes qui régissent la décomposition en séries de Fourier.

La modélisation de la surface cornéenne par les polynômes de Zernike permet de calculer rapidement l’effet imprimé sur le front d’onde lumineux (aberrations induites par la surface cornéenne considérée), à condition de connaître (ou prédire avec précision) un front d’onde sphérique engendré par une surface cornéenne de référence conférant à la cornée un pouvoir optique « idéal ».

Ainsi, toute surface de pourtour circulaire peut être décomposée en une combinaison de surfaces élémentaires représentées par les différents polynômes de Zernike, et affectés d’un coefficient dont la valeur absolue reflète « le poids » de chaque surface élémentaire présente dans la décomposition. La morphologie tridimensionnelle des premiers polynômes de Zernike permet de désigner des formes simples pour caractériser certaines aberrations optiques, ou particularités géométriques de la surface cornéenne.

En effet, les premiers modes peuvent être relié aux principales aberrations optiques : Z11 et  Z1-1 correspondent au tilt, Z20 au défocus, Z22 et  Z2-2 à l’astigmatisme, …

Les polynômes Zn0 (m=0) ont invariants par rotation (symétrie de révolution : leurs expressions ne dépendent que de ρ). Les autres polynômes présentent un nombre d’axe de symétrie égal à m et sont présents en deux « exemplaires » orientés l’un par rapport à l’autre selon un angle égal à  90° divisé par m. Par exemple,  Z22etZ2-2  (astigmatisme de degré 2) présentent deux axes de symétrie et sont tournées l’un par rapport à l’autre de 45°. Cette propriété de symétrie permet de reproduire, par combinaison linéaire des deux polynômes Z22etZ2-2, un astigmatisme de n’importe quelle magnitude et orienté selon n’importe quel axe.

décomposition de l'asigmatisme en polynômes de Zernike

L’astigmatisme est exprimé comme une combinaison linéaire des polynômes Z2-2 et Z22, dont la résultante est une aberration également en forme de selle (représentée ici en mauve). L’orientation de ces polynômes est fixe (verticale pour Z22, oblique pour Z2-2). Les valeurs respectives des coefficients c2-2 et c22 déterminent la magnitude et l’orientation de l’astigmatisme exprimé par cette combinaison. En cas d’astigmatisme conforme ou non-conforme d’axe vertical (90°), la valeur du coefficient c2-2 est nulle ( l’orientation de Z22 est verticale et suffit à la caractérisation de ce type d’astigmatisme).

L’astigmatisme exprimé par ces polynômes correspond à une puissance cylindrique Jacksonienne (le déphasage est mesuré par rapport au défocus moyen : analogie avec l’expression sphéro-cylindrique en cylindres croisés). Contrairement à la notation (Cylindre x Axe), où toute modification du cylindre entraîne une modification de l’équivalent sphérique, l’utilisation des polynômes de Zernike effectue une distinction implicite entre les composantes sphériques et purement cylindriques de l’amétropie cylindrique.

Coefficient RMS (Root Mean Square)

Le coefficient RMS (« Root Mean Square ») est calculé sur une pupille normalisée (rayon égal à l’unité). Il représente le « poids » du polynôme considéré. Il s’exprime en microns.

Pour la surface cornéenne analysée, la valeur des coefficients RMS de chacun des polynômes de Zernike dépend :

-du diamètre cornéen analysé

-de la surface ou plan de référence éventuel par rapport à laquelle la décomposition en polynômes de Zernike est effectuée.

La figure suivante représente une décomposition en polynômes de Zernike d’une surface cornéenne antérieure représentée par rapport à un ellipsoïde de référence. La différence entre la surface parfaitement régulière de l’ellipsoïde et la cornée mesurée est décomposée en une somme de termes de Zernike. Les valeurs de chacun des coefficients de Zernike est rapportée en pourcentage vis à vis d’une cornée normale de référence.

Elevation cornéenne et polynômes de Zernike

Représentation de l’élévation cornéenne sur un diamètre de 8 mm et relative à un ellipsoïde de référence par une décomposition en polynômes de Zernike (Topographe Pentacam)

Le calcul du front d’onde cornéen (« corneal wavefront ») dépend lui d’assomptions relatives à un front d’onde de référence, qui serait celui d’une cornée optiquement parfaite (n’induisant aucune aberration de haut degré) et d’un indice de réfraction « physique » du stroma cornéen. La figure suivante montre un exemple de calcul théorique des aberrations optiques induites par une surface cornéenne pour un diamètre pupillaire de 6 mm

aberrations cornéennes après kératotomie radiaire

A gauche, la carte de puissance réfractive révèle une zone centrale de moindre puissance au périmètre losangique. Cette conformation particulière, engendré par la réalisation de 4 incisions de kératotomie radiaire, implique l’induction d’un taux élevé d’aberrations optiques de haut degré, dominées par le tétrafoil (T.4 foil). L’orientation de cette aberration est superposable à celle des incisions de kératotomie.

 

Les 28 premiers polynômes de Zernike sont représentés en échelle de gris ici:

pyramide de Zernike

Représentation en échelle de gris correspondant à l’élévation verticale des 28 premiers polynômes de Zernike en fonction de leur fréquence azimutale et de leur ordre radial.

Les équations en coordonnées polaires (sans les facteurs de normalisation) des 36 ­ premiers polynômes de Zernike sont énumérés dans le tableau suivant :

j =n =m =
indexordrefrequence
0001
11-12 r sin θ
2112 r cos θ
32-2r2 sin 2 θ
420(2r2-1)
522r2 cos 2 θ
63-3r3 sin 3 θ
73-1(3r3-2r) sin θ
831(3r3-2r) cos θ
933r3 cos 3 θ
104-4r4 sin 4 θ
114-2(4r4-3r2) sin 2 θ
1240(6r4-6r2+1)
1342(4r4-3r2) cos 2 θ
1444r4 cos 4 θ
155-5r5 sin 5 θ
165-3(5r5-4r3) sin 3 θ
175-1(10r5-12r3+3r) sin θ
1851(10r5-12r3+3r) cos θ
1953(5r5-4r3) cos 3 θ
2055r5 cos 5 θ
216-6r6 sin 6 θ
226-4(6r6-5r4) sin 4 θ
236-2(15r6-20r4+6r2) sin 2 θ
2460(20r6-30r4+12r2-1)
2562(15r6-20r4+6r2) cos 2 θ
2664(6r6-5r4) cos 4 θ
2766r6 cos 6 θ
287-74 r7 sin 7 θ
297-54 (7r7-6r5) sin 5 θ
307-34 (21r7-30r5+10r3) sin 3 θ
317-14 (35r7-60r5+30r3-4r) sin θ
32714 (35r7-60r5+30r3-4r) cos θ
33734 (21r7-30r5+10r3) cos 3 θ
34754 (7r7-6r5) cos 5 θ
35774 r7 cos 7 θ

 

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