Paraxial

Paraxial : définitions et explications

Le terme paraxial (« proche de l’axe ») correspond à une approximation faite en optique géométrique, afin de prédire de manière simple le trajet des rayons lumineux au travers d’un système optique. Dans l’approximation paraxiale, l’angle formé par le rayon incident avec l’axe optique est faible (la valeur de l’angle, en radians, est proche de celle de son sinus); ceci permet d’effectuer quelques simplifications géométriques et d’obtenir des formules simples et linéaires, faisant intervenir l’angle d’indice et la hauteur du rayon à l’entrée du système optique. Une approximation paraxiale est nécessaire pour établir la formule de vergence. Si l’on connait la vergence du système optique, on peut alors prédire la hauteur et l’angle de sortie du rayon émergent correspondant. Le domaine paraxial permet alors de simplifier le calcul du trajet des rayons et la formation des images au travers du système optique. Ceci est utile par exemple pour établir des formules théoriques pour le calcul biométrique de la puissance des implants de cristallin artificiel.

Le domaine non paraxial est appelé domaine marginal: c’est dans le domaine non paraxial qu’intervient l’effet des aberrations optiques.

Oeil et conditions paraxiales

En ce qui concerne l’oeil, on peut tracer le trajet d’un rayon à travers la face antérieure de la cornée, la face postérieure de la cornée, etc en faisant une approximation paraxiale. Il suffit de connaître la courbure paraxiale et l’indice de réfraction des milieux traversés. Les conditions paraxiales s’appliquent pour les rayons proches de l’axe optique de l’oeil: pourtant, les rayons admis par la pupille irienne peuvent former un angle relativement important avec celui-ci; par exemple, pour une pupille de 4 mm, et un rayon de courbure cornéen proche de 8 mm, l’angle d’incidence i est égal est proche de 14,5° soit 0.253 radians. Le sinus de cet angle vaut 0.250 radians ce qui est plus ou moins acceptable en fonction du contexte, et ce d’autant que l’erreur peut s’accentuer à chaque réfraction, notamment par les surfaces cristalliniennes. En pratique, on peut faire usage de l’approximation paraxiale pour l’étude et la correction des défauts réfractifs de l’oeil (amétropies).

Dans les conditions paraxiales, on peut assimiler un ensemble de dioptres et/ou lentilles à un système centré, dont il suffit de connaître les foyers et plans et points principaux pour déterminer les propriétés liées à la formation des images (position, grandissement, etc.): les formules de vergences s’appliquent alors, en fonction de la position des foyers et des objets vis à vis des plans principaux du/des systèmes.

Représentation

Le schéma suivant représente la réfraction paraxiale d’un rayon incident, se propageant de la gauche vers la droite dans un milieu d’indice n. Ce rayon forme un angle u (radians) et rencontre un dioptre sphérique de rayon R, et d’indice réfractive n’, à une hauteur h.

approximation paraxiale

Pour les rayons incidents formant un angle faible avec l’axe optique, on peut déterminer la direction du rayon après réfraction grâce à la formule n’ u’- n u =-h F. Cette formule découle de la loi de Snell appliquée à de petis angles. Les signes + et – situés après u et u’ dépendent de l’orientation respective de ces angles, exprimés en radians. A droite, on a représenté en vert clair une éventuelle nouvelle surface réfractive: il suffit de répéter le calcul avec h’ (qui dépend de la distance de cette surface vis à vis de la précédente) et u’ pour déterminer le trajet du rayon après réfraction par la surface suivante.

On appelle F la vergence du dioptre, égale à la variation d’indice de réfraction (n’-n) divisée par le rayon de courbure R; F = (n’-n)/R

Dans les conditions paraxiales, on vérifie l’équation :

n’u’ – n u = -h F

où F =1/R (F est exprimé en Dioptries). Il est important de ne pas confondre u u’ et l’angle d’incidence θi ou l’angle de réfraction θr  (voir la page dédiée au calcul de la formule de vergence pour la démonstration de cette formule)

Comme suggéré dans la légende de la figure précédente, on peut appliquer la même formule avec la surface suivante: ceci est effectué en série dans les calculs de ray tracing.

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