Astigmatisme et erreur d’axe

L’astigmatisme est un défaut optique « orienté« : dans son expression classique en ophtalmologie, il comporte une magnitude (en dioptrie) et une direction (axe). L’epression (-3×90°) correspond à un astigmatisme myopique (signe négatif) de magnitude 3 Dioptrie, « orienté » à 90°.  Cette caractéristique permet à l’astigmatisme d’être représenté facilement de manière vectorielle, la norme du vecteur (longueur de la flèche) étant proportionnelle à la magnitude de l’astigmatisme. La correction de l’astigmatisme requiert l’utilisation d’un dispositif qui, appréhendé de manière vectorielle, génère un vecteur d’astigmatisme égal en magnitude à celui à corriger, mais opposé en direction. L’orientation du dispositif correcteur (verre, lentille torique, implant torique) doit être effectuée avec soin; celui -ci doit être parfaitement aligné selon l’ « axe » de l’astigmatisme oculaire: verre de lunette, lentille de contact torique, profil de photoablation laser (LASIK, PKR)/ ou l’axe de l’astigmatisme cornéen:  implant torique de cristallin artificiel (chirurgie de la cataracte). (voir également la page : rotation d’un implant torique chez un patient atteint de kératocône) Par exemple, un astigmatisme de (+1 x 0°) est corrigé si l’on applique en l’alignant selon le même repère un dispositif qui génère un astigmatisme de (-1 x 0°). Il arrive parfois qu’une « erreur d’axe » se produise (voir exemple : erreur d’axe d’un implant torique). Au lieu d’être orienté selon l’axe de l’astigmatisme à corriger (ex: 90°), le dispositif correcteur est « décalé » de quelques degrés (ex : 95°). Ceci peut être provoqué par une rotation intempestive d’un implant torique après la pose, des mouvements de cyclotorsion pendant la chirurgie de photoablation au laser sur la cornée, etc. Une question légitime se pose alors: quelle est la résultante de ce décalage d’axe sur le résultat réfractif de la correction? Plusieurs approches peuvent être utilisées pour calculer l’effet d’une erreur d’axe pour la correction de l’astigmatisme: approche analytique (calculs trigonométriques: l’astigmatisme est exprimé comme une fonction A x cos (2t), ou approche vectorielle (l’astigmatisme est assimilé à un vecteur dont la « norme » est proportionnelle à la magnitude de l’astigmatisme, et l’orientation conforme à l’axe exprimé dans la formule de l’astigmatisme – ex: 90°). On peut également avoir recours à une représentation par des nombres complexes. La méthode vectorielle est particulièrement adaptée à une compréhension « visuelle » des conséquences d’une erreur d’axe. En voici la représentation « graphique » à propos d’un exemple où l’astigmatisme à corriger est exprimé par la formule +1 x 90°. Tout astigmatisme formulé comme une prescription optique en ophtalmologie peut être converti en formulation dite en cylindre positif (exemple : -1 x 0° plan  est équivalent à +1 x 90° avec une sphère de +1 D) La méthode décrite ci après s’applique à toute situation : si l’astigmatisme initial est différent de +1 x 90°, il convient de rajouter au résultat final la différence avec 90°; et multiplier la magnitude du cylindre obtenu dans ce calcul par la valeur du cylindre initial. Dans cette représentation, on utilise une représentation angulaire classique, « définie sur 360° ». Cette représentation conduit lors de certaine étapes de calcul à considérer des valeurs d’angle doublées. NB : l’utilisation d’un graphe « double plot »pour l’astigmatisme permet de tracer des vecteurs de même signe, dont les angles sont automatiquement doublés. La représentation trigonométrique de l’astigmatisme permet aussi de visualiser l’effet d’une erreur d’alignement de l’axe de la correction.  

Représentation vectorielle de l’astigmatisme sur 360°

Avec la méthode graphique vectorielle sur 360°, on représente l’astigmatisme à corriger par un vecteur (une flèche) de longueur +1 et d’axe 90°, orientée dans un repère gradué en degré (rappelons que cette méthode nécessite de convertir l’astigmatisme initial à corriger en formule de cylindre positif). Les flèches dirigées vers le haut ont par convention une norme (longueur) positive, les flèches orientées vers le bas une norme négative. On peut représenter l’astigmatisme (+1 x 90°) comme ceci :  

Correction de l’astigmatisme sans décalage

L’astigmatisme « opposé », dont l’adjonction compense exactement +1 x90° est :  -1 x90°. Il peut être représenté par une flèche orientée « vers le bas », selon l’axe 90°.

La « somme » de ces vecteurs d’astigmatisme  correspond à un vecteur nul, et une situation où l’astigmatisme +1 x 90° est parfaitement corrigé par l’adjonction d’un dispositif qui induit -1 x 90°.

Correction de l’astigmatisme avec décalage

Imaginons qu’une erreur d’axe de 30° survienne dans le sens anti horaire: le dispositif correcteur n’est plus placé à 90° mais à (90°+30°). L’astigmatisme compensateur est un vecteur orienté à 120 ° :  -1 x (90°+30°) soit -1 x 120°. La situation peut être représentée de la manière suivante :

Du fait de la modulation de l’astigmatisme réfractif sur 180° (et non 360°), il faut « doubler » l’angle correspondant à l’erreur d’axe (30°) pour poursuivre notre résolution graphique du problème: cet angle devient donc 2 x 30° = 60°. On fait alors subir une rotation de 30° supplémentaire de la flèche de notre vecteur correspondant à l’astigmatisme induit par le dispositif correcteur.

On peut alors réaliser la somme vectorielle et obtenir une flèche dont la longueur correspond à celle de l’astigmatisme résiduel : dans cet exemple, cette flèche a également une longueur égale à 1 (le triangle formé par les flèches est équilatéral, chaque angle étant égal à 60° !). Quand l’erreur d’axe est de 30°, l’astigmatisme résiduel a la même magnitude que l’astigmatisme initial ! En revanche, son axe est modifié (on dit familièrement que l’axe de l’astigmatisme a « tourné » !)

La géométrie de la figure suggère que cet axe est de 30° (avec l’axe horizontal) et 60° avec l’orientation de l’astigmatisme à corriger (90°). Toujours en raison de la double modulation de l’astigmatisme sur 360°, il faut diviser l’angle formé avec l’axe de l’astigmatisme initial (ici situé selon 90°) par 2;  60°/ 2 = 30°.

Une erreur d’axe de 30° (-1 x 120° au lieu de -1 x 90°) induit un astigmatisme résiduel de 1 Dioptrie, orienté à 60°:  +1 x 60°. La magnitude de l’astigmatisme n’a pas changé, mais son axe a été modifié!   NB: La représentation en graphique « double plot » (où les angles sont doublés) évite justement de doubler les angles! (ceci est fait directement puisqu’un tour complet correspond à 360/2 = 180°). La valeur de la rotation subie par  l’axe de l’astigmatisme en cas d’erreur d’axe du dispositif correcteur vis à vis de l’axe 90° est toujours égale à (90°-E)/2 où E est l’erreur en valeur absolue (en degré). Dans l’exemple ci dessus: (90°-30°)/2 = 30°. L’axe a bien été dévié de 30° (écart angulaire entre 90° et 60°). Un autre exemple « graphiquement » remarquable est celui d’une erreur de 45°. Au lieu de (-1 x 90°) on « traite » par erreur (-1 x 135°). Comme on doit doubler la valeur de l’angle avant de sommer les flèches, et que 2×45°=90°, on obtient facilement en regardant la géométrie de la figure que la magnitude de l’astigmatisme résiduel est égale à racine carrée de 2 (soit 1.4 D environ).

L’axe de l’astigmatisme résiduel est de (90°-45°)/2=22.5°. La formule finale est de (+1.4 x 67.5).  

Conclusion

La méthode vectorielle est particulièrement bien adaptée pour appréhender de manière « visuelle » les conséquences d’un erreur d’axe pour la correction de l’astigmatisme. Les conséquences de ce type d’erreur consistent en un astigmatisme d’axe différent, et de magnitude résiduelle fonction de l’erreur d’axe. Cette magnitude augmente si l’erreur d’axe est supérieure à 30°. Cette méthode est pratique si l’on ne dispose pas d’un calculateur informatique ou d’un logiciel adapté. Il est important de se souvenir qu’il faut convertir en cylindre positif la formule de la réfraction à corriger; le dispositif correcteur est alors un vecteur de même axe mais de magnitude opposée. L’utilisation d’un graphe « double plot » permet de tracer directement les vecteurs à additionner (sans doubler les axes, puisqu’ils sont déjà doublés dans le repère circulaire dont une rotation complète  correspond à 180° et non 360°). Cette méthode est utile pour la compréhension des astigmatismes résiduels observés après photoablation (LASIK, PKR), pose d’un implant torique (chirurgie de la cataracte), ou pose d’une lentille de contact torique. En pratique clinique, les erreurs d’axe ne dépassent généralement pas quelques degrés. L’astigmatisme résiduel est donc faible en magnitude, et son orientation souvent oblique vis à vis de l’axe initial; une représentation graphique vectorielle des conséquences d’une erreur de quelques degré explique d’ailleurs ceci!

Une faible erreur d’axe représentée de manière vectorielle induit un astigmatisme résiduel modéré, dont l’axe est situé dans une direction oblique (environ 45°) vis à vis de la direction initiale.